1  引言

隨著無線通信技術的發展和移動通信終端設備的普及，特別是近年來人們對小型化、多頻帶、集成化天線的迫切需求，使天線技術得到了充分的發展。但是，傳統的天線在幾何形狀上基本上都是基于歐幾里德幾何的設計。雖然，隨著天線技術的不斷發展出現了微帶天線，具有低剖面、重量輕、成本低，可與各種載體共形，適合印刷電路板技術批量生產、易于實現圓極化、雙極化、雙頻段工作等優點，但其致命的缺點是窄帶性，從而限制了它的廣泛應用。因此，迫切需要運用新的理論和方法，探索現代天線的設計，解決傳統的天線設計中出現的問題和矛盾。研究發現，將分形幾何應用到天線工程中，可設計出尺寸和頻帶指標更好的分形天線。

2  分形天線

“分形”這一概念是由法國數學家B.Mandelbrot 于1975年首次提出的,“分形（Fracta1）”這個名詞即拉丁文的“破碎”。分形幾何就是研究無限復雜而具有特定意義下的自相似圖形和結構的幾何學，自相似就是局部的形態與整體形態的相似，分形具有兩大特征：自相似性和空間填充性(即分數維)。

所謂分形天線，是指幾何屬性上具有分形特征的天線。世界上第一個分形天線是由美國科學家Dr．Nathan Cohen 于1988年完成的，而對分形天線進行系統的研究是從1995年8月Cohen 發表他的第一篇有關分形天線方面的文章開始的。隨后，國際上很多大學和科研機構開始對分形天線進行研究。分形天線是分形電動力學的眾多應用之一。天線與陣列的分形設計是電磁理論與分形幾何學的融合，如我們熟悉的螺旋天線和對數周期天線等一類頻率無關天線都是分形天線，它已經存在多年，但直到分形技術應用后，它的性能才得以充分的理解。

傳統的微帶天線要實現其雙頻和多頻工作通常需要采用多個輻射單元的天線或電抗性負載貼片天線或多頻介質諧振天線，這些都增加了天線的復雜性，同時，也增加了制作的難度和成本?，F代無線通信要求用低剖面、小尺寸、多頻帶（寬頻帶）、可集成的天線，分形天線能更好的滿足這種要求。分形是通過迭代產生的分數維自相似結構，其整體與局部、局部與局部之間都具有自相似性。因此，分形是一種與標度無關的幾何，與寬帶天線的頻率無關性比較相似。將分形應用于天線的設計主要是用來實現天線小型化和天線的多頻特性，分形天線解決了傳統天線的兩個局限性：(1) 通常天線的性能都依賴于天線的電尺寸。這就意味著對于固定的天線尺寸，主要天線參數（增益、輸入阻抗、方向圖和副瓣電平等）將隨著工作頻率的改變而改變。分形的自相似性使分形天線有多頻和寬頻特性。(2) 分形的空間填充性，使一些天線的尺寸得到減縮。

分形天線的研究和應用，在軍事和民用方面都有著巨大的潛力，尤其在無線、衛星和移動通信系統中將會發揮巨大的作用，有著非常廣闊的市場前景。國外在分形天線單元和分形天線陣列研究方面已取得實質性進展，但國內在這方面的研究還很少，分形天線是分形理論和天線技術的融合，表現出與傳統天線相比的許多優勢，是近幾年天線領域的研究熱點。

2.1幾種常見的分形天線

分形幾何天線的形成主要是通過迭代的方式產生的，這就使得分形天線具有自相似性。如正三角形四等分成四個小三角形，挖去中間的一個，把剩下的三個小三角形四等分挖去中間的一個，如此無限的進行下去，面積將趨于零、邊長增加、由無窮多線段組成的Sierpinski Gasket，如圖2所示，其分維數為ln3/ln2。

（a）Koch天線形成過程              （b）Koch雙極天線
圖1   Koch 分形天線

圖2   Sierpinski Gasket分形天線的形成

圖3   Koch雪花分形天線

圖4   Hilbert曲線分形天線

圖5   Koch分形環和Minkowski分形環
圖6   Sierpinski Gasket/Carpet 分形天線

2.2分形天線的特性分析

由于分形幾何兩個獨特的特征：自相似性（self-similarity）（或自仿射性self-affinity）和空間填充性（space-filling），結合天線的特征，使得分形幾何在天線工程領域中的應用有了突破性的發展。使天線在尺寸大小和頻帶寬窄以及多頻帶等方面的性能與傳統天線相比有了極大的改善。

寬頻帶天線的重要特征是其性能與頻率無關，如我們熟悉的螺旋天線和對數周期天線等一類非頻變天線（即頻率無關天線）都是分形天線。當頻率變化時能保持其阻抗和方向圖特性不變，即以頻率為尺度時，其電性能不變。分形幾何是一種與標度無關的幾何，具有相似的結構，這意味著分形天線形狀在不同的尺度變化下保持相似性，從而具有相似的電特性，形成多頻帶天線，從這一點上分析，研究分形幾何與天線的關系有其必要性。

文獻[1]中設計的Sierpinski地毯分形微帶天線如圖7，仿真和計算結果都表明，Sierpinski地毯分形微帶天線具有多頻帶性，且最寬的頻帶達到中心頻率的47.1％。文獻[2]Sierpinski墊片分形天線也具有多頻帶性，這也證明了分形天線的多頻帶特性。實際上，不僅Sierpinski分形天線及其變形[3]分形天線表現出多頻帶性，而且分形樹天線、隨機分形天線也具備同樣的特性。例如，利用等效RLC電路模擬法研究Dendrite類型的印刷分形天線[4]發現，Dendrite類型的隨機分形天線在0.4-15GHz頻率范圍內也具備較好的寬帶性能。

我們知道，經典的歐幾里德幾何研究的對象是規則而光滑的幾何形狀，而分形結構是由迭代產生的復雜形狀，使一些天線的尺寸縮減成為可能。當然，分形嚴格來說，它是通過無限次的迭代而產生的復雜的幾何圖形，在天線的應用中我們一般只進行有限次的迭代，這并不影響天線的性能。與傳統的天線相比，它更有效的占據空間，也就是分形天線的空間填充性，使得它在很小的空間內能有效的耦合從饋電傳輸線到自由空間的能量。通過分形環和分形雙極子天線與線性環和雙極子天線的比較得出：分形天線的空間填充性使得天線的尺寸縮小。實驗也證明了這點：Koch曲線分形單極子天線如圖1、Koch雪花如圖3、Minkowski分形環天線如圖5，它們的諧振頻率都隨著迭代次數的增加而降低[5]。這里，將著重討論Koch曲線的分形天線的尺寸縮減性能。文獻[6][7]重點討論了Koch曲線的單極天線特性，它的分維數為㏑4/㏑3，當保持天線的高度不變時，見圖1(a)所示，隨著迭代次數的增加，曲線的長度將按4/3的倍數增加，天線的輻射阻抗增加，諧振頻率減小，并趨于某一極限值，同時品質因數Q值減小，也趨于某一有限值。當利用兩個Koch 曲線作為天線的兩個振子時，即形成了Koch 雙極子曲線。如圖1(b)所示，Koch雙極曲線的長度也隨著迭代次數的增加而增加，輻射阻抗相應的增加，諧振頻率逐漸減小，并趨于某一極限值。當保持雙極曲線的諧振頻率不變時，Koch曲線的長度在增加而高度在減小，見表1和圖7，從表中我們發現，隨著迭代次數的增加，天線的高度逐漸減小而趨向于某一有限值，而長度卻無限增長。所以這種設計有利于天線的小型化,當然隨著迭代次數的增加，也就相應的增加了天線設計的復雜度，因此，曲線的迭代次數不宜過大。

表1  Koch分形雙極天線的高度與長度隨迭代次數增加的變化

圖7  Koch分形雙極天線的高度與長度隨迭代次數增加的變化(這里只畫了一半)

具有尺寸縮減性能的分形天線還有分形貼片天線[8]。Hilbert分形天線，它的生成過程如圖4所示，文獻[9]對Minkowski分形環天線進行了深入的分析，表明Minkowski分形天線具有尺寸縮減性，同時隨著分形迭代次數的增加，天線的尺寸縮減效應將趨于一極限值等。

3 分形理論在天線設計中的應用

分形天線的自相似性能減小分形天線元的整體寬度，同時和歐幾里德幾何天線元保持同樣的性能，因為各個天線元具有同樣的諧振頻率和相同的輻射方向圖。分形元能夠改善運用歐氏幾何天線元的線性天線陣列的設計，運用分形元來改善和提高天線陣列的性能，這里討論兩種方法：

一種方法就是減小天線元之間的相互耦合。因為線性陣列中天線元之間的相互耦合導致整個天線的輻射方向圖性能下降。相互耦合還能改變天線元的激發電流。因此，如果在陣列天線的設計過程中忽略天線元之間的內部耦合作用，那么天線的輻射方向圖就會受到影響，通常表現為副瓣電平的提高甚至導致零信號的填充。

圖8  中心距離相等的兩種線性陣列

為了比較分形單元和傳統的天線單元之間的相互耦合作用，陣列設計如圖8 所示，兩個陣列都有五個單元組成，單元之間的距離為d=0.3π，陣列單元的相位依次增加1.632弧度，主波束沿軸向掃描為135°。陣列的遠場方向圖如圖9，從圖中可以看出，兩個陣列主波束掃描角度達到理想的135°，分形天線元陣列在45°方向上有較小的副瓣，同樣，通過比較理想陣列元（不考慮陣列元之間的互耦作用）和分形陣列元之間的遠場方向圖，可以看出陣列元之間的相互耦合作用影響陣列天線的性能和零訊號的填充。在45°方向上，分形陣列的副瓣輻值比傳統天線陣列的副瓣輻值小20dB，這意味著更多的能量加在主瓣上。

圖9   陣列的方向圖比較（ƒ（Ø）單位：dB）

另一種方法是在線性陣列中排列更多的分形天線元。這兩種方法極大的擴大了線性陣列的有效掃描角度。分形也可以用來在一個線性陣列中放置更多的天線元，即一固定寬度的陣列天線，如果用分形天線元來代替，可以增加天線元的個數，同時減小了天線元之間的距離，這就使得陣列可以掃描到更低的角度，不會產生不期望的副瓣，這是因為在同樣的諧振頻率且保持天線元的邊邊距離不變的條件下，分形元尺寸較小，如圖10所示，在中心距為0.5π的五個矩形環形單元線陣所占的空間中，排了七個分形環單元，且每兩個單元的中心距為0.35π，矩形環單元相位依次增加2.72弧度，分形環單元相位依次：

圖10   相同寬度的兩種陣列元排列

增加1.9弧度，都能實現主波束掃描135°。陣列的遠場方向圖如圖11，從圖中可以看出，在45°方向上分形元陣列的副瓣輻值比矩形元陣列低15dB。

圖11  兩種陣列的方向圖的比較

隨著天線技術的不斷發展，分形幾何在天線中的應用也會越來越多,文獻[10][11]分別研究了分形在MIMO天線和UWB射頻設計中所獲得的理想效果。我們知道微帶天線有低剖面、重量輕、易集成，易于載體共形等特點，但是，這種天線的頻帶窄和難于實現多頻帶等固有的缺點限制了它的應用，如能把微帶天線的輻射元用分形元來替代[8]，結合分形天線的特性，那將會極大的改善天線的性能。這必將是天線的一個發展趨勢。這里，我們主要討論了規則分形圖形在天線領域的應用。隨機分形天線分析也有文獻探討：隨機分形圖形更接近于復雜的自然形態的結構，這也是分形理論在天線設計中的一個發展。

4  總結

分形幾何的兩大特性應用到天線的設計中，解決了傳統天線設計中的天線尺寸和多頻帶兩大問題，同時，將分形運用到陣列天線的設計可以大大的改善和提高天線的性能?？v觀分形天線的研究現狀，分形天線的研究還處在初級階段，還正待深入研究分形特性與天線特性以及天線性能之間的內在聯系，促進天線小型化和多頻帶的發展。

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作者：錢四林,黃華,施建超