從圖7上可以看出，如果x(t)是個實帶限信號，并且最高頻譜不超過ωs/2,那么，在理想采樣信號的頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波調(diào)制頻譜彼此是不重疊的。如果用一個帶寬為ωs/2的理想低通濾波器是可以將各次調(diào)制頻譜濾掉的，從而只保留不失真的基帶頻譜，也就是說，可以不失真的還原出原來的連續(xù)時間信號來。設(shè)想理想低通濾波器的頻率特性為：

G(jω)=T(當(dāng)|ω|<ωs/2)，G(jω)=0(當(dāng)|ω|>=ωs/2)

則理想低通濾波器輸出信號y(t)的頻譜為：

Y(jω)=X’(jω)G(jω)=X(jω)

因此，在理想低通濾波器的輸出端就可恢復(fù)原連續(xù)時間信號：

y(t)=x(t)

這就是Nyquist定理，即只要采樣頻率fs>=2fm，其中fm是x(t)的最高頻率，則由理想采樣信號x’(t)就能不失真的恢復(fù)連續(xù)時間信號x(t)。但如果信號的最高頻率超過了ωs/2（或fm超過了fs/2），那么理想采樣信號的頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會互相交疊起來，這就是頻譜混疊現(xiàn)象，而用基帶濾波器就不能不失真地濾出基帶頻譜，恢復(fù)出來的信號相對于x(t)也就失真了。

那么在示波器的波形重建中如何應(yīng)用Nyquist理論呢？這就是正弦內(nèi)插(sinx/x內(nèi)插)，即在實際采樣點之間通過正弦內(nèi)插算法插入足夠的點，這些插入的點在采樣率滿足Nyquist定理時與實際在此位置的值是同樣的，這樣插入的點與采樣的點一起提供足夠的點數(shù)把波形重建出來。如何進行正弦內(nèi)插呢？讓我們來看看信號x’(t)通過理想低通濾波器的響應(yīng)過程。由理想低通濾波器的頻率特性G(jω)可到其沖激響應(yīng)為：

g(t)=1/(2π)∫+-∞ G(jω)ejωtdω=T/(2π) ∫+-ωs ejωtdω

=sin(ωs t /2)/ (ωs t /2)

=sin(πt/T)/ (πt/T)

根據(jù)卷積公式，通過低通濾波器的信號輸出為：

y(t)= ∫+-∞ x’(τ)g(t-τ)dτ

=∑n=-∞ to ∞ x(nT)g(t-nt)

這里g(t-nt)=sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)稱為內(nèi)插函數(shù)。

由于y(t)=x(t),因此：

x(t)=y(t)= ∑n=-∞ to ∞ x(nT) sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)

此公式稱為采樣內(nèi)插公式，它表明了連續(xù)時間信號x(t)如何由它的采樣序列x(nT)來恢復(fù)，即x(t)等于x(nT)乘上對應(yīng)內(nèi)插函數(shù)的總和。在每個采樣點上，由于只有該采樣值所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為0，所以很明顯，上式保證了在各采樣點上信號值不變，而采樣點之間的信號則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形伸展疊加而成。這也正是理想低通濾波器G(jω)中的響應(yīng)過程。

此內(nèi)插公式的意義在于證明：只要滿足了采樣頻率大于信號最高頻率兩倍，整個連續(xù)時間信號x(t)可由它的采樣序列(或離散時間信號x(nT))恢復(fù)，而不丟失任何信息。此時x(nT)完全可以代表x(t)，兩者等價，含的信息是一樣的，即x(nT)是x(t)的另一種表現(xiàn)形式。但是當(dāng)采樣率不滿足采樣定理時，x(t)所含的信息比x(nT)多，由x(nT)不能準(zhǔn)確恢復(fù)x(t)，也就不存在上式的關(guān)系。

對于數(shù)字示波器來說，被測的數(shù)字信號的頻譜分量實際上是無窮的，我們?yōu)榱舜_保一定的準(zhǔn)確度，示波器或放大器的帶寬就應(yīng)該是被測信號的帶寬的2倍（高斯頻響示波器）或1.4倍（Flat頻響示波器），這樣保證足夠的頻譜分量都可以通過放大器，而在采樣的時候，應(yīng)該保證通過放大器的所有的頻譜分量都被采集到而不發(fā)生頻率混疊，這就要求采樣率應(yīng)該是示波器帶寬的4倍（高斯頻響示波器）或2.5倍（Flat頻響示波器）。此處非信號帶寬，為什么呢？因為被測的數(shù)字信號的頻譜分量實際上是無窮的，放大器的濾波作用并非把-3dB帶寬的帶外信號全部濾掉，而是頻響曲線上會拖個尾巴，采樣率應(yīng)該是包括尾巴部分的2倍以上，而非僅僅是-3dB帶寬的2倍以上。對于高斯頻響示波器因為拖的尾巴較長，所以通過實際計算采樣率需要帶寬的4倍以上，對于Flat頻響示波器，拖的尾巴相對較短，采樣率需要帶寬的2.5倍以上。如果采樣率不能滿足此要求，就會發(fā)生頻譜混疊，就會導(dǎo)致插值的錯誤，導(dǎo)致波形的失真。

總結(jié)

綜合上述，信號保真度是數(shù)字示波器的核心衡量標(biāo)準(zhǔn)，影響數(shù)字示波器信號保真度的主要幾個因素是：探頭連接部分帶寬，探頭帶寬，示波器帶寬和頻響，采樣率。

如何選擇示波器的帶寬和實時采樣率呢？下面規(guī)則幫助我們確定(此規(guī)則保證邊沿3%測試誤差)。

1、知道你的信號的最快上升時間, tr

2、計算信號最高頻率分量（或帶寬）, Fmax（BWsignal）

Fmax（BWsignal） = 0.4 / tr (20% to 80%)

Fmax（BWsignal） = 0.5 / tr (10% to 90%)

3、計算需要的示波器帶寬, BWscope

BWscope = 2 * Fmax(BWsignal) (高斯頻響示波器)

BWscope = 1.4 * Fmax(BWsignal)(Flat頻響示波器)

4、計算需要的示波器采樣率, SRscope

SRscope = 4 * BWscope (高斯頻響示波器)

SRscope = 2.5 * BWscope (Flat頻響示波器)

作者：安捷倫科技專家 孫燈亮