圖1　中空外開槽波導及電子注橫截面示意圖.虛圓為電子注橫截面示意圖

　　在Ⅰ區(0＜r＜a)中

　(1)
　(2)
Ez=0　(3)

在Ⅱ區(a＜r＜b)中

Ez=0　(4)
Er=0　(5)

　(6)

其中

　(7)
B0=［-J′0(kcb)/Y′0(kcb)］A0　(8)

　　在以上各式中，E0為高頻場振幅，Γ為角向諧波數，ΑΓ為角向Γ次諧波項的振幅系數，kc為截止波數，q為開槽序數(q=1,2,…,N)，m代表高頻場的角向模式(m=0,1,2,…,N-1).AΓ的值以及電路的色散關系可由電磁場在r=a處的邊界條件確定.

　(9)

色散關系為

　(10)

　　式(9)表明，只有當空間諧波次數Γ=m+lN時，非零空間諧波項才存在.角向模式決定相鄰隙間高頻場的相位差，對于每一具體模式，此相位差值為m2π/N.每一角向模式均由無數個角向諧波項組成，其諧波振幅系數由式(9)決定.在所有角向模式中有兩個比較重要的模式，即π模式和2π模式，其角向諧波相對強弱分布情況見圖2.由圖2可知，2π模式的能量主要集中于零次諧波項中，而π模式的能量主要集中于±N/2次諧波項中.因此，π模式較2π模式更適合于高次回旋諧波互作用.如果電子注回旋諧波次數(用S表示)已經設定，那么槽數N的選擇應保證最強非零次角向諧波項的次數Г與回旋諧波次數S相等.如，對于π模式，槽數N應等于2S.

圖2　角向諧波振幅對角向諧波數(Γ)的相對分布示意圖.(a)π模式(m=N/2,N=6,θ0=15°)，(b)2π模式(m=0,N=6,θ0=15°)

　　當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數kc的值可由式(10)通過數值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場歸一化系數，f(z)為一復函數，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發［8］，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運動方程.每個電子有6個運動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運動參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發，經過一系列復雜的推導并對電流進行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內所取的電子注批數，M為考慮電子注厚度因數而將電子注化分的圈